Satoshi Yukawa

Satoshi Yukawa

Department of Earth and Space Science, The University of Osaka

非平衡現象論

理学研究科宇宙地球科学専攻大学院科目, 大阪大学, 理学部, 2026

大学院科目、木曜日2限、理B307教室
CLE授業支援システム

このページ

スケジュール

4月16日
平衡近傍でのゆらぎ: Boltzmann-Einsteinの原理。孤立系、開放系での表現

4月23日
ゆらぎの動力学: 現象論的方程式、Onsagerの相反関係、Onsager係数の決定

5月7日
ゆらぎの動力学: Langevin方程式とFokker-Planck方程式、例:Brown運動、例:ポテンシャルのある場合
(講義中に符号が違うかもしれないと言いましたが、資料のままで問題ありませんでした)

5月14日
ゆらぎの動力学: 例:空間的に不均一な系への応用

5月21日
線形応答理論: 静的な場合、動的な場合、揺動散逸定理

5月28日
ゆらぎの定理: Jarzynski等式、ゆらぎの定理

6月4日
ゆらぎの定理: ゆらぎの定理の証明、線形応答との対応

6月11日
情報と熱力学: Maxwellデーモン、Szilardエンジン、Landauer原理、フィードバック系のゆらぎの定理

Quiz

Quiz 1(4月16日出題)
マクロ量 \( \{ a_i \} \)の平衡値 \( \{ \overline{a_i} \} \)からのずれは エントロピーで支配され \[ P(\{a_i\}) = (2\pi)^{-n/2} \left[ \det \left( -\dfrac{1}{k_\mathrm{B}} \dfrac{\partial^2 S}{\partial a_i \partial a_j } \right) \right]^{1/2} \exp \left( \dfrac{1}{2 k_\mathrm{B}} \sum_{ij} \dfrac{\partial^2 S}{\partial a_i \partial a_j} (a_i - \overline{a_i}) (a_j - \overline{a_j}) \right) \] と書ける。この多次元Gauss積分を実行し、規格化定数がこれで良いことを確認せよ。

Quiz 2(4月16日出題)
マクロ量 \( \{ X_i \} \)の分布 \[ P(\{X_i\}) \propto \exp \left( -\dfrac{1}{2} \sum_{ij} \beta_{ij} X_i X_j \right) \] に対し、期待値 \( \left\langle X_i X_j \right\rangle = (\beta^{-1})_{ij} \) となることを示せ。 また \(x_i = \sum_j \beta_{ij} X_j\)と置いたとき、 \( \left\langle x_i X_j \right\rangle = \delta_{ij} \)、 \( \left\langle x_i x_j \right\rangle = \beta_{ij} \)となることを示せ。

Quiz 3(4月16日出題)
熱浴および圧力浴と接している系に対してエントロピーゆらぎの二乗の期待値および圧力ゆらぎの二乗の期待値が \[ \left \langle (\Delta S)^2 \right\rangle = k_\mathrm{B} C_p \, , \, \, \left \langle (\Delta p)^2 \right\rangle = \dfrac{k_\mathrm{B} T}{V \chi_S} \] となることを示せ。ここで\( C_p , \chi_S \)はそれぞれ等圧熱容量、断熱圧縮率である。

Quiz 4(4月23日出題)
オンサーガー係数やノイズの計算で \[ I=\int_{0}^{t} ds_{1} \int_{0}^{t} ds_{2} \, f(s_{1}-s_{2}) \] の形の積分がでてきた。 \( f \) が偶関数のとき \[ I = \int_{0}^{t} dx\, 2 (t -x ) f(x) \] とできることを示せ。

Quiz ５(5月7日出題)
ブラウン運動のLangevin表現、 \[ \dfrac{dp_i}{dt} = - \dfrac{f}{T_R M} p_i + \xi_i(t) \] ただし\( \langle \xi_i(t) \rangle_{eq} = 0 \enspace , \quad \langle \xi_i(t) \xi_j (t’) \rangle_{eq} = 2 k_\mathrm{B} f \delta_{ij} \delta (t-t’) \)に対して、 初期条件\( p_i(0) = p_i^0 \) のもと、\( p_i(t) \)の解を求めよ。 これを使い、 \[ \langle p_i (t+\tau) p_j (t) \rangle_{p_i(0)=p_i^0, p_j(0)=p_j^0} \] を計算せよ。また、初期値 \( p_i^0, p_j^0 \)を熱平衡にとり十分に時間が経った後の、 \[ \langle p_i (t+\tau) p_j (t) \rangle_{eq} - \langle p_i (t+\tau) \rangle_{eq} \langle p_j (t) \rangle_{eq} \] を計算せよ。

Quiz 6(5月7日出題)
Quiz5の \[ \langle p_i (t+\tau) p_j (t) \rangle_{eq} - \langle p_i (t+\tau) \rangle_{eq} \langle p_j (t) \rangle_{eq} \] を、対応するFokker-Planck方程式をつかって計算せよ。 評価 — 期末レポート、およびQuizの解答状況(数問選んで、最後に提出)をみて総合的に判断する。 詳細はシラバスを参照してください。

参考書、参考文献

一般的なこと

  • S. R. de Groot and P. Mazur “Non-equilibrium Thermodynamics”, Dover Publications
  • 一柳正和「不可逆過程の物理」日本評論社
  • 川崎恭治「非平衡と相転移-メソスケールの統計力学-」朝倉書店
  • 早川尚男「非平衡統計力学」サイエンス社
  • 北原和夫「非平衡系の統計力学」岩波書店
  • 鈴木増雄「統計力学、岩波講座現代の物理学」岩波書店
  • 戸田盛和、久保亮五、斎藤信彦、橋爪夏樹「統計物理学、現代物理学の基礎第二版」岩波書店
  • 関本謙「ゆらぎのエネルギー論」岩波書店
  • 沙川貴大「非平衡統計力学」共立出版
  • 齊藤圭司「ゆらぐ系の熱力学」サイエンス社
  • N. Shiraishi “An Introduction to Stochastic Thermodynamics”, Springer
  • D. N. Zubarev “Nonequilibrium Statistical Thermodynamics”, Consultants Bureau
  • R. Zwanzig “Nonequilibrium Statistical Mechanics”, Oxford
  • M. Ichiyanagi, “Conceptual developments of non-equilibrium statistical mechanics in the early days of Japan”, Phys. Rep. 262 (1995) 227.
  • R. Kubo, M. Toda, and N. Hashitsume, “Statistical Physics II, Nonequilibirum Statistical Mechanics” Spinger-Verlag
  • J. A. McLennan, “Introduction to Non-equilibrium Statistical Mechanics” Prentice-Hall
  • 佐々真一「非平衡現象論」講義ノート

Einsteinのゆらぎの理論

  • L. Landau, E. Lifshitz 「統計物理学 (下)」岩波書店 (12章), L. Landau, E. Lifshitz, “Statistical Physics (course of theoretical physics volume 5) Butterworth-Heinemann”
  • A. Einstein, “Theorie der Opaleszenz von homogenen Flüssigkeiten und Flüssigkeitsgemischen in der Nähe des Kritischen Zustandes”, Ann. der Phys. 33 (1910), pp. 1275-1298. 邦訳 アインシュタイン選集1、監修 湯川秀樹 翻訳 井上健、谷川安孝、中村誠太郎 共立出版(1971)

Onsagerの相反定理、Onsager-Machlup過程

確率過程

  • N. G. van Kampen, “Stochastic Processes in Physics and Chemistry”, Elsevier
  • C. W. Gardiner, “Handbook of Stochastic Methods”, Springer

ブラウン運動

  • A. Einstein “Investigations on the theory of the Brownian movement”, Dover

Fokker-Planck方程式

  • H. Risken, “The Fokker-Planck Equation”, Springer

空間不均一系

  • P. C. Hohenberg and B. I. Halperin, “Theory of dynamic critical phenomena”, Rev. Mod. Phys. 49, 435 (1977).
  • S. M. Allen and J. W. Cahn, “A microscopic theory for antiphase boundary motion and its application to antiphase domain coarsening”, Acta Metall. 27, 1085 (1979).
  • J. W. Cahn and J. E. Hilliard, “Free Energy of a Nonuniform System. I. Interfacial Free Energy”, J. Chem.Phys. 28, 258 (1958).
  • J. W. Cahn, “On spinodal decomposition”, Acta Metall. 9, 795 (1961).
  • S. M. Allen and J. W. Cahn, “Mechanisms of phase transformations within the miscibility gap of Fe-rich Fe-Al alloys”, Acta Metall. 24, 425 (1976).
  • B. Halperin, P. Hohenberg, and E. Siggia, “Renormalization-Group Calculations of Divergent Transport Coefficients at Critical Points”, Phys. Rev. Lett. 32, 1289 (1974).
  • B. I. Halperin, P. C. Hohenberg, and E. D. Siggia, “Renormalization-group treatment of the critical dynamics of superfluid helium, the isotropic antiferromagnet, and the easy-plane ferromagnet”, Phys. Rev. B 13, 1299 (1976).

線形応答

  • 戸田盛和、久保亮五、斎藤信彦、橋爪夏樹「統計物理学、現代物理学の基礎第二版」岩波書店
  • R. Kubo, M. Toda, and N. Hashitsume, “Statistical Physics II, Nonequilibirum Statistical Mechanics” Spinger-Verlag

ゆらぎの定理、Jarzynski等式

情報と熱力学

  • H. Leff and A. F. Rex ed. “Maxwell’s Demon 2 Entropy, Classical and Quantum Information, Computing”, Institute of Physics Publishing

大偏差性