Satoshi Yukawa

Satoshi Yukawa

Department of Earth and Space Science, The University of Osaka

非平衡現象論

理学研究科宇宙地球科学専攻大学院科目, 大阪大学, 理学部, 2022

大学院科目、月曜日2限、理F202教室

スケジュール

4月11日
平衡近傍でのゆらぎ: Boltzmann-Einsteinの原理。孤立系、開放系での表現

4月18日
ゆらぎの動力学: 現象論的方程式、Onsagerの相反関係、Onsager係数の決定

4月25日
ゆらぎの動力学: Langevin方程式とFokker-Planck方程式、例:Brown運動、例:ポテンシャルのある場合、例:不均一系

5月2日
いちょう祭のため休講

5月9日
線形応答理論: 静的な場合、動的な場合、揺動散逸定理

5月16日
ゆらぎの定理: Jarzynski等式、ゆらぎの定理

5月23日
ゆらぎの定理: ゆらぎの定理の証明、線形応答との対応

5月30日
情報と熱力学: Maxwellデーモン、Szilard機関、情報理論

6月6日
情報と熱力学: フィードバック系のゆらぎの定理 最近の話題

Quiz

Quiz 1(4月11日出題)
マクロ量 \( \{ a_i \} \)の平衡値 \( \{ \overline{a_i} \} \)からのずれは エントロピーで支配され \[ P(\{a_i\}) = (2\pi)^{-n/2} \left[ \det \left( -\dfrac{1}{k_\mathrm{B}} \dfrac{\partial^2 S}{\partial a_i \partial a_j } \right) \right]^{1/2} \exp \left( \dfrac{1}{2 k_\mathrm{B}} \sum_{ij} \dfrac{\partial^2 S}{\partial a_i \partial a_j} (a_i - \overline{a_i}) (a_j - \overline{a_j}) \right) \] と書ける。この多次元Gauss積分を実行し、規格化定数がこれで良いことを確認せよ。

Quiz 2(4月11日出題)
マクロ量 \( \{ x_i \} \)の分布 \[ P(\{x_i\}) \propto \exp \left( -\dfrac{1}{2} \sum_{ij} \beta_{ij} x_i x_j \right) \] に対し、期待値 \( \left\langle x_i x_j \right\rangle = \beta_{ij}^{-1}\)となることを示せ。また \(X_i = \sum_j \beta_{ij} x_j\)と置いたとき、 \( \left\langle X_i x_j \right\rangle = \delta_{ij} \)、 \( \left\langle X_i X_j \right\rangle = \beta_{ij} \)となることを示せ。

Quiz 3(4月18日出題)
Hall効果をDrudeモデルにより考察する。 電荷\(q\)をもつ質量\(m\)の荷電粒子が運動方程式 \[ m \dfrac{d\mathbf{v}}{dt} = q \mathbf{E} + q \mathbf{v} \times \mathbf{B}- \gamma \mathbf{v} \] に従うとする。ここで\(\mathbf{E}, \mathbf{B}\)はそれぞれ電場、磁場、\(\gamma\)は散逸を表す。 電場、磁場が\(\mathbf{E} = (E_x, E_y, 0) , \mathbf{B} = (0,0,B)\)のとき、 定常速度\( (v_x, v_y) \)を求め、電気伝導率テンソル\( \sigma_{xx}, \sigma_{xy},\sigma_{yx},\sigma_{yy} \)を \[ v_x = \sigma_{xx} E_x + \sigma_{xy} E_y \] \[ v_y = \sigma_{yx} E_x + \sigma_{yy} E_y \] で定義したとき、電気伝導率テンソル\( \sigma_{xy} , \sigma_{yx} \)に関してOnsagerの相反定理が成立していることを確認せよ。

Quiz 4(4月18日出題)
講義ではマクロ物理量 \( \{ a_i \} \)の時間発展を条件付き確率 \( W_{\Delta t} (a_i+\Delta a_i | a_i) \)で表した。この条件付き確率が詳細つりあい \[ W_{\Delta t} (a_i+\Delta a_i | a_i) P_{eq}(a_i) = W_{\Delta t} (a_i | a_i+\Delta a_i) P_{eq}(a_i+\Delta a_i) \] を満たすことを示せ。

Quiz ５(4月25日出題)
ブラウン運動のLangevin表現、 \[ \dfrac{dp_i}{dt} = - \dfrac{f}{T_R M} p_i + \xi_i(t) \] ただし\( \langle \xi_i(t) \rangle_{eq} = 0 \enspace , \quad \langle \xi_i(t) \xi_j (t’) \rangle_{eq} = 2 k_\mathrm{B} f \delta_{ij} \delta (t-t’) \)に対して、 初期条件\( p_i(0) = p_i^0 \) のもと、\( p_i(t) \)の解を求めよ。 これを使い、 \[ \langle p_i (t+\tau) p_j (t) \rangle_{p_i(0)=p_i^0, p_j(0)=p_j^0} \] を計算せよ。また、初期値 \( p_i^0, p_j^0 \)を熱平衡にとり十分に時間が経った後の、 \[ \langle p_i (t+\tau) p_j (t) \rangle_{eq} - \langle p_i (t+\tau) \rangle_{eq} \langle p_j (t) \rangle_{eq} \] を計算せよ。

Quiz 6(4月25日出題)
Quiz5の \[ \langle p_i (t+\tau) p_j (t) \rangle_{eq} - \langle p_i (t+\tau) \rangle_{eq} \langle p_j (t) \rangle_{eq} \] を、対応するFokker-Planck方程式をつかって計算せよ。

Quiz 7(5月9日出題)
講義ではハミルトニアンが無摂動状態\( H_0\)から外場\(E\)のもと\( H_0- M E \)と変化する時の物理量\(A \)の応答を見た。 摂動を逆温度をつかって\( E = 1- \beta’ / \beta \)と与えたとき、\(A=M=H_0 \)として熱容量を求めよ。

Quiz 8(5月9日出題)
\(L \times L \times L \)の立方体中に\( N \)個の古典的な自由粒子が 逆温度\( \beta \)の熱平衡状態として存在している。 この自由粒子の重心位置\( \dfrac{1}{N} \langle \sum_i q_i^z \rangle \)の 重力に対する応答を線形応答の範囲で調べよ。 また、重力は立方体のある辺と平行なz軸負の向きにかかるとする。 この系では厳密な重心位置も評価できるので、線形応答の結果と比較せよ。

Quiz 9(5月9日出題)
複素アドミッタンス \[ \chi_{AM}(\omega) = \lim_{\epsilon \downarrow 0}\int_{0}^{\infty} ds \phi_{AM}(s) e^{i\omega s} e^{-\epsilon s} \] に対し、Kramers-Kronig関係式 \[ \Re \chi_{AM}(\omega) = \pv\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{d\omega’}{\pi} \Im \dfrac{\chi_{AM}(\omega’)}{\omega’-\omega} \] \[ \Im \chi_{AM}(\omega) = - \pv\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{d\omega’}{\pi} \Re \dfrac{\chi_{AM}(\omega’)}{\omega’-\omega} \] が成立することを示せ。

Quiz 10(5月16日出題)
運動量と座標の組\({ p_i, q_i } \)がハミルトニアン\( H \)に従って 時間変化するとする。 \[ \dot{q_i} = \dfrac{\partial H}{\partial p_i} \] \[ \dot{p_i} = - \dfrac{\partial H}{\partial q_i} \] このとき 位相空間中のある領域\( \mathcal{D}(t) \)の体積 \[ V(\Gamma(t)) = \int_{\mathcal{D}(t)} d\Gamma(t) \] がLagrange的な時間変化に対して不変である事を示せ。

Quiz 11(5月16日出題)
運動量\( p\)、座標\( q\)に対し \[ \dfrac{dp}{dt} = 0 \enspace, \quad \dfrac{dq}{dt}= p \] という運動を考える。

  • この運動方程式が可逆であることを示せ。
  • ある初期状態から時間\( t\)だけ時間発展させ、状態を時間反転し、おなじ時間\( t \)だけ時間発展し、時間反転するともとの初期状態に戻ることを示せ。

また \[ \dfrac{dp}{dt} = -p \enspace, \quad \dfrac{dq}{dt}= p \] という運動に対し、

  • この運動方程式が可逆でないことを示せ。
  • ある初期状態から時間\( t\)だけ時間発展させ、状態を時間反転し、おなじ時間\( t \)だけ時間発展し、時間反転してももとの初期状態に戻らないことを示せ。

Quiz 12(5月23日出題)
与えられたハミルトニアンに対し 拡張された運動方程式 \[ \dot{q_{i}} = \dfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i} \] \[ \dot{p_{i}} = - \dfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_{i}} - \zeta p_{i} \] \[ \dot{\zeta} = \dfrac{1}{\tau^{2}} \left( \beta \sum_{i} \dfrac{p_{i}^{2}}{m} - dN \right) \] を考える。(\(d\)は空間次元である。)この時間発展にしたがうダイナミクスを能勢-Hooverダイナミクスと呼ぶ。能勢-Hooverダイナミクスでは運動方程式にしたがって時間発展すると、カノニカル分布が定常状態として得られることが知られている。

  • ハミルトニアンの時間微分が \[ \dfrac{d\mathcal{H}}{dt} = - \zeta \sum_{i} \dfrac{p_{i}^{2}}{m} \] となることを示せ。
  • この時間発展で、分布関数\( f(p_i,q_i,\zeta) \propto \exp ( -\beta H - \tau^2 \zeta^2 / 2 ) \)が定常、すなわち時間微分が0であることを示せ。

Quiz 13(5月30日出題)
同時情報量 \[ S(X,Y) = -\sum_{x,y} P_{X\otimes Y}(x,y) \log P_{X\otimes Y}(x,y) \] を、情報量 \[ S(X) = - \sum_{x} P_{X}(x) \log P_{X}(x) \] と、条件付き情報量 \[ S(X|Y)= - \sum_{y} P_{Y}(y) \sum_{x} P_{X}(x|y) \log P_{X}(x|y)
\] をつかって \[ S(X,Y) = S(Y) + S(X|Y) \] と表すことができることを示せ。

Quiz 14(5月30日出題)
相互情報量 \[ I(X,Y) = \sum_{x,y} P_{X\otimes Y} (x,y) \log \dfrac{P_{X\otimes Y}(x,y)}{P_{X}(x) P_{Y}(y)} \] を、 \[ I(X,Y) = S(X) + S(Y) - S(X, Y) \] と表すことができることを示せ。

評価

期末レポート、およびQuizの解答状況(数問選んで、最後に提出)をみて総合的に判断する。 詳細はシラバスを参照してください。

参考書、参考文献

一般的なこと

  • S. R. de Groot and P. Mazur “Non-equilibrium Thermodynamics”, Dover Publications
  • 一柳正和「不可逆過程の物理」日本評論社
  • 川崎恭治「非平衡と相転移-メソスケールの統計力学-」朝倉書店
  • 早川尚男「非平衡統計力学」サイエンス社
  • 北原和夫「非平衡系の統計力学」岩波書店
  • 鈴木増雄「統計力学、岩波講座現代の物理学」岩波書店
  • 戸田盛和、久保亮五、斎藤信彦、橋爪夏樹「統計物理学、現代物理学の基礎第二版」岩波書店
  • 関本謙「ゆらぎのエネルギー論」岩波書店
  • D. N. Zubarev “Nonequilibrium Statistical Thermodynamics”, Consultants Bureau
  • R. Zwanzig “Nonequilibrium Statistical Mechanics”, Oxford
  • M. Ichiyanagi, “Conceptual developments of non-equilibrium statistical mechanics in the early days of Japan”, Phys. Rep. 262 (1995) 227.
  • R. Kubo, M. Toda, and N. Hashitsume, “Statistical Physics II, Nonequilibirum Statistical Mechanics” Spinger-Verlag
  • J. A. McLennan, “Introduction to Non-equilibrium Statistical Mechanics” Prentice-Hall
  • 佐々真一「非平衡現象論」講義ノート

Einsteinのゆらぎの理論

  • L. Landau, E. Lifshitz 「統計物理学 (下)」岩波書店, L. Landau, E. Lifshitz, “Statistical Physics (course of theoretical physics volume 5) Butterworth-Heinemann”
  • A. Einstein, “Theorie der Opaleszenz von homogenen Flüssigkeiten und Flüssigkeitsgemischen in der Nähe des Kritischen Zustandes”, Ann. der Phys. 33 (1910), pp. 1275-1298. 邦訳 アインシュタイン選集1、監修 湯川秀樹 翻訳 井上健、谷川安孝、中村誠太郎 共立出版(1971)

確率過程

  • N. G. van Kampen, “Stochastic Processes in Physics and Chemistry”, Elsevier

ブラウン運動

  • A. Einstein “Investigations on the theory of the Brownian movement”, Dover

Onsagerの相反定理、Onsager-Machlup過程

線形応答

  • 戸田盛和、久保亮五、斎藤信彦、橋爪夏樹「統計物理学、現代物理学の基礎第二版」岩波書店
  • R. Kubo, M. Toda, and N. Hashitsume, “Statistical Physics II, Nonequilibirum Statistical Mechanics” Spinger-Verlag

ゆらぎの定理、Jarzynski等式

情報と熱力学

  • H. Leff and A. F. Rex ed. “Maxwell’s Demon 2 Entropy, Classical and Quantum Information, Computing”, Institute of Physics Publishing

大偏差性