非平衡現象論

理学研究科宇宙地球科学専攻大学院科目, 大阪大学, 理学部, 2022

大学院科目、月曜日2限、理F202教室

スケジュール

4月11日
平衡近傍でのゆらぎ: Boltzmann-Einsteinの原理。孤立系、開放系での表現

4月18日
ゆらぎの動力学: 現象論的方程式、Onsagerの相反関係、Onsager係数の決定

4月25日
ゆらぎの動力学: Langevin方程式とFokker-Planck方程式、例:Brown運動、例:ポテンシャルのある場合、例:不均一系

5月2日
いちょう祭のため休講

5月9日
線形応答理論: 静的な場合、動的な場合、揺動散逸定理

5月16日
ゆらぎの定理: Jarzynski等式、ゆらぎの定理

5月23日
ゆらぎの定理: ゆらぎの定理の証明、線形応答との対応

5月30日
情報と熱力学: Maxwellデーモン、Szilard機関、情報理論

6月6日
情報と熱力学: フィードバック系のゆらぎの定理 最近の話題

Quiz

Quiz 1(4月11日出題)
マクロ量 {ai}の平衡値 {ai}からのずれは エントロピーで支配され (1)P({ai})=(2π)n/2[det(1kB2Saiaj)]1/2exp(12kBij2Saiaj(aiai)(ajaj)) と書ける。この多次元Gauss積分を実行し、規格化定数がこれで良いことを確認せよ。

Quiz 2(4月11日出題)
マクロ量 {xi}の分布 (2)P({xi})exp(12ijβijxixj) に対し、期待値 xixj=βij1となることを示せ。また Xi=jβijxjと置いたとき、 Xixj=δijXiXj=βijとなることを示せ。

Quiz 3(4月18日出題)
Hall効果をDrudeモデルにより考察する。 電荷qをもつ質量mの荷電粒子が運動方程式 (3)mdvdt=qE+qv×Bγv に従うとする。ここでE,Bはそれぞれ電場、磁場、γは散逸を表す。 電場、磁場がE=(Ex,Ey,0),B=(0,0,B)のとき、 定常速度(vx,vy)を求め、電気伝導率テンソルσxx,σxy,σyx,σyy(4)vx=σxxEx+σxyEy (5)vy=σyxEx+σyyEy で定義したとき、電気伝導率テンソルσxy,σyxに関してOnsagerの相反定理が成立していることを確認せよ。

Quiz 4(4月18日出題)
講義ではマクロ物理量 {ai}の時間発展を条件付き確率 WΔt(ai+Δai|ai)で表した。この条件付き確率が詳細つりあい (6)WΔt(ai+Δai|ai)Peq(ai)=WΔt(ai|ai+Δai)Peq(ai+Δai) を満たすことを示せ。

Quiz 5(4月25日出題)
ブラウン運動のLangevin表現、 (7)dpidt=fTRMpi+ξi(t) ただしξi(t)eq=0,ξi(t)ξj(t)eq=2kBfδijδ(tt)に対して、 初期条件pi(0)=pi0 のもと、pi(t)の解を求めよ。 これを使い、 (8)pi(t+τ)pj(t)pi(0)=pi0,pj(0)=pj0 を計算せよ。また、初期値 pi0,pj0を熱平衡にとり十分に時間が経った後の、 (9)pi(t+τ)pj(t)eqpi(t+τ)eqpj(t)eq を計算せよ。

Quiz 6(4月25日出題)
Quiz5の (10)pi(t+τ)pj(t)eqpi(t+τ)eqpj(t)eq を、対応するFokker-Planck方程式をつかって計算せよ。

Quiz 7(5月9日出題)
講義ではハミルトニアンが無摂動状態H0から外場EのもとH0MEと変化する時の物理量Aの応答を見た。 摂動を逆温度をつかってE=1β/βと与えたとき、A=M=H0として熱容量を求めよ。

Quiz 8(5月9日出題)
L×L×Lの立方体中にN個の古典的な自由粒子が 逆温度βの熱平衡状態として存在している。 この自由粒子の重心位置1Niqizの 重力に対する応答を線形応答の範囲で調べよ。 また、重力は立方体のある辺と平行なz軸負の向きにかかるとする。 この系では厳密な重心位置も評価できるので、線形応答の結果と比較せよ。

Quiz 9(5月9日出題)
複素アドミッタンス (11)χAM(ω)=limϵ00dsϕAM(s)eiωseϵs に対し、Kramers-Kronig関係式 (12)ReχAM(ω)=PdωπImχAM(ω)ωω (13)ImχAM(ω)=PdωπReχAM(ω)ωω が成立することを示せ。

Quiz 10(5月16日出題)
運動量と座標の組pi,qiがハミルトニアンHに従って 時間変化するとする。 (14)qi˙=Hpi (15)pi˙=Hqi このとき 位相空間中のある領域D(t)の体積 (16)V(Γ(t))=D(t)dΓ(t) がLagrange的な時間変化に対して不変である事を示せ。

Quiz 11(5月16日出題)
運動量p、座標qに対し (17)dpdt=0,dqdt=p という運動を考える。

  • この運動方程式が可逆であることを示せ。
  • ある初期状態から時間tだけ時間発展させ、状態を時間反転し、おなじ時間tだけ時間発展し、時間反転するともとの初期状態に戻ることを示せ。

また (18)dpdt=p,dqdt=p という運動に対し、

  • この運動方程式が可逆でないことを示せ。
  • ある初期状態から時間tだけ時間発展させ、状態を時間反転し、おなじ時間tだけ時間発展し、時間反転してももとの初期状態に戻らないことを示せ。

Quiz 12(5月23日出題)
与えられたハミルトニアンに対し 拡張された運動方程式 (19)qi˙=Hpi (20)pi˙=Hqiζpi (21)ζ˙=1τ2(βipi2mdN) を考える。(dは空間次元である。)この時間発展にしたがうダイナミクスを能勢-Hooverダイナミクスと呼ぶ。能勢-Hooverダイナミクスでは運動方程式にしたがって時間発展すると、カノニカル分布が定常状態として得られることが知られている。

  • ハミルトニアンの時間微分が (22)dHdt=ζipi2m となることを示せ。
  • この時間発展で、分布関数f(pi,qi,ζ)exp(βHτ2ζ2/2)が定常、すなわち時間微分が0であることを示せ。

Quiz 13(5月30日出題)
同時情報量 (23)S(X,Y)=x,yPXY(x,y)logPXY(x,y) を、情報量 (24)S(X)=xPX(x)logPX(x) と、条件付き情報量 (25)S(X|Y)=yPY(y)xPX(x|y)logPX(x|y) をつかって (26)S(X,Y)=S(Y)+S(X|Y) と表すことができることを示せ。

Quiz 14(5月30日出題)
相互情報量 (27)I(X,Y)=x,yPXY(x,y)logPXY(x,y)PX(x)PY(y) を、 (28)I(X,Y)=S(X)+S(Y)S(X,Y) と表すことができることを示せ。

評価

期末レポート、およびQuizの解答状況(数問選んで、最後に提出)をみて総合的に判断する。 詳細はシラバスを参照してください。

参考書、参考文献

一般的なこと

  • S. R. de Groot and P. Mazur “Non-equilibrium Thermodynamics”, Dover Publications
  • 一柳正和「不可逆過程の物理」日本評論社
  • 川崎恭治「非平衡と相転移-メソスケールの統計力学-」朝倉書店
  • 早川尚男「非平衡統計力学」サイエンス社
  • 北原和夫「非平衡系の統計力学」岩波書店
  • 鈴木増雄「統計力学、岩波講座現代の物理学」岩波書店
  • 戸田盛和、久保亮五、斎藤信彦、橋爪夏樹「統計物理学、現代物理学の基礎第二版」岩波書店
  • 関本謙「ゆらぎのエネルギー論」岩波書店
  • D. N. Zubarev “Nonequilibrium Statistical Thermodynamics”, Consultants Bureau
  • R. Zwanzig “Nonequilibrium Statistical Mechanics”, Oxford
  • M. Ichiyanagi, “Conceptual developments of non-equilibrium statistical mechanics in the early days of Japan”, Phys. Rep. 262 (1995) 227.
  • R. Kubo, M. Toda, and N. Hashitsume, “Statistical Physics II, Nonequilibirum Statistical Mechanics” Spinger-Verlag
  • J. A. McLennan, “Introduction to Non-equilibrium Statistical Mechanics” Prentice-Hall
  • 佐々真一「非平衡現象論」講義ノート

Einsteinのゆらぎの理論

  • L. Landau, E. Lifshitz 「統計物理学 (下)」岩波書店, L. Landau, E. Lifshitz, “Statistical Physics (course of theoretical physics volume 5) Butterworth-Heinemann”
  • A. Einstein, “Theorie der Opaleszenz von homogenen Flüssigkeiten und Flüssigkeitsgemischen in der Nähe des Kritischen Zustandes”, Ann. der Phys. 33 (1910), pp. 1275-1298. 邦訳 アインシュタイン選集1、監修 湯川秀樹 翻訳 井上健、谷川安孝、中村誠太郎 共立出版(1971)

確率過程

  • N. G. van Kampen, “Stochastic Processes in Physics and Chemistry”, Elsevier

ブラウン運動

  • A. Einstein “Investigations on the theory of the Brownian movement”, Dover

Onsagerの相反定理、Onsager-Machlup過程

線形応答

  • 戸田盛和、久保亮五、斎藤信彦、橋爪夏樹「統計物理学、現代物理学の基礎第二版」岩波書店
  • R. Kubo, M. Toda, and N. Hashitsume, “Statistical Physics II, Nonequilibirum Statistical Mechanics” Spinger-Verlag

ゆらぎの定理、Jarzynski等式

情報と熱力学

  • H. Leff and A. F. Rex ed. “Maxwell’s Demon 2 Entropy, Classical and Quantum Information, Computing”, Institute of Physics Publishing

大偏差性