非平衡現象論

大学院科目、月曜日2限、理F202教室

スケジュール

4月11日
平衡近傍でのゆらぎ: Boltzmann-Einsteinの原理。孤立系、開放系での表現

4月18日
ゆらぎの動力学: 現象論的方程式、Onsagerの相反関係、Onsager係数の決定

4月25日
ゆらぎの動力学: Langevin方程式とFokker-Planck方程式、例:Brown運動、例:ポテンシャルのある場合、例:不均一系

5月2日
いちょう祭のため休講

5月9日
線形応答理論: 静的な場合、動的な場合、揺動散逸定理

5月16日
ゆらぎの定理: Jarzynski等式、ゆらぎの定理

5月23日
ゆらぎの定理: ゆらぎの定理の証明、線形応答との対応

5月30日
情報と熱力学: Maxwellデーモン、Szilard機関、情報理論

6月6日
情報と熱力学: フィードバック系のゆらぎの定理 最近の話題

Quiz

Quiz 1(4月11日出題)
マクロ量 $\{a_i\}$の平衡値 $\{\overline{a_i}\}$からのずれは エントロピーで支配され $$\begin{array}{}\text{(1)}& P(\{a_i\})=(2\pi {)}^{-n/2}{[\det (-{\displaystyle \frac{1}{k_{\mathrm{B}}}}{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}S}{\partial a_i\partial a_j}})]}^{1/2}\exp ({\displaystyle \frac{1}{2k_{\mathrm{B}}}}\sum _{ij}{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}S}{\partial a_i\partial a_j}}(a_i-\overline{a_i})(a_j-\overline{a_j}))\end{array}$$ と書ける。この多次元Gauss積分を実行し、規格化定数がこれで良いことを確認せよ。

Quiz 2(4月11日出題)
マクロ量 $\{x_i\}$の分布 $$\begin{array}{}\text{(2)}& P(\{x_i\})\propto \exp (-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sum _{ij}{\beta }_{ij}{x}_i{x}_j)\end{array}$$ に対し、期待値 $⟨x_i{x}_j⟩={\beta }_{ij}^{-1}$となることを示せ。また $X_i=\sum _j{\beta }_{ij}{x}_j$と置いたとき、 $⟨X_i{x}_j⟩={\delta }_{ij}$、 $⟨X_i{X}_j⟩={\beta }_{ij}$となることを示せ。

Quiz 3(4月18日出題)
Hall効果をDrudeモデルにより考察する。 電荷$q$をもつ質量$m$の荷電粒子が運動方程式 $$\begin{array}{}\text{(3)}& m{\displaystyle \frac{d\mathbf{v}}{dt}}=q\mathbf{E}+q\mathbf{v}\times \mathbf{B}-\gamma \mathbf{v}\end{array}$$ に従うとする。ここで$\mathbf{E},\mathbf{B}$はそれぞれ電場、磁場、$\gamma$は散逸を表す。 電場、磁場が$\mathbf{E}=(E_x,E_y,0),\mathbf{B}=(0,0,B)$のとき、 定常速度$(v_x,v_y)$を求め、電気伝導率テンソル${\sigma }_{xx},{\sigma }_{xy},{\sigma }_{yx},{\sigma }_{yy}$を $$\begin{array}{}\text{(4)}& v_x={\sigma }_{xx}{E}_x+{\sigma }_{xy}{E}_y\end{array}$$ $$\begin{array}{}\text{(5)}& v_y={\sigma }_{yx}{E}_x+{\sigma }_{yy}{E}_y\end{array}$$ で定義したとき、電気伝導率テンソル${\sigma }_{xy},{\sigma }_{yx}$に関してOnsagerの相反定理が成立していることを確認せよ。

Quiz 4(4月18日出題)
講義ではマクロ物理量 $\{a_i\}$の時間発展を条件付き確率 $W_{\mathrm{\Delta }t}(a_i+\mathrm{\Delta }{a}_i|a_i)$で表した。この条件付き確率が詳細つりあい $$\begin{array}{}\text{(6)}& W_{\mathrm{\Delta }t}(a_i+\mathrm{\Delta }{a}_i|a_i)P_{eq}(a_i)=W_{\mathrm{\Delta }t}(a_i|a_i+\mathrm{\Delta }{a}_i)P_{eq}(a_i+\mathrm{\Delta }{a}_i)\end{array}$$ を満たすことを示せ。

Quiz ５(4月25日出題)
ブラウン運動のLangevin表現、 $$\begin{array}{}\text{(7)}& {\displaystyle \frac{d{p}_i}{dt}}=-{\displaystyle \frac{f}{T_{R}M}}{p}_i+{\xi }_i(t)\end{array}$$ ただし$⟨{\xi }_i(t){⟩}_{eq}=0,⟨{\xi }_i(t){\xi }_j(t^{\prime }){⟩}_{eq}=2k_{\mathrm{B}}f{\delta }_{ij}\delta (t-t^{\prime })$に対して、 初期条件$p_i(0)=p_i^0$ のもと、$p_i(t)$の解を求めよ。 これを使い、 $$\begin{array}{}\text{(8)}& ⟨p_i(t+\tau )p_j(t){⟩}_{p_i(0)=p_i^0,p_j(0)=p_j^0}\end{array}$$ を計算せよ。また、初期値 $p_i^0,p_j^0$を熱平衡にとり十分に時間が経った後の、 $$\begin{array}{}\text{(9)}& ⟨p_i(t+\tau )p_j(t){⟩}_{eq}-⟨p_i(t+\tau ){⟩}_{eq}⟨p_j(t){⟩}_{eq}\end{array}$$ を計算せよ。

Quiz 6(4月25日出題)
Quiz5の $$\begin{array}{}\text{(10)}& ⟨p_i(t+\tau )p_j(t){⟩}_{eq}-⟨p_i(t+\tau ){⟩}_{eq}⟨p_j(t){⟩}_{eq}\end{array}$$ を、対応するFokker-Planck方程式をつかって計算せよ。

Quiz 7(5月9日出題)
講義ではハミルトニアンが無摂動状態$H_0$から外場$E$のもと$H_0-ME$と変化する時の物理量$A$の応答を見た。 摂動を逆温度をつかって$E=1-{\beta }^{\prime }/\beta$と与えたとき、$A=M=H_0$として熱容量を求めよ。

Quiz 8(5月9日出題)
$L\times L\times L$の立方体中に$N$個の古典的な自由粒子が 逆温度$\beta$の熱平衡状態として存在している。 この自由粒子の重心位置${\displaystyle \frac{1}{N}}⟨\sum _i{q}_i^z⟩$の 重力に対する応答を線形応答の範囲で調べよ。 また、重力は立方体のある辺と平行なz軸負の向きにかかるとする。 この系では厳密な重心位置も評価できるので、線形応答の結果と比較せよ。

Quiz 9(5月9日出題)
複素アドミッタンス $$\begin{array}{}\text{(11)}& {\chi }_{AM}(\omega )=\underset{ϵ\downarrow 0}{lim}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}ds{\varphi }_{AM}(s)e^{i\omega s}{e}^{-ϵs}\end{array}$$ に対し、Kramers-Kronig関係式 $$\begin{array}{}\text{(12)}& \mathrm{Re}{\chi }_{AM}(\omega )=\mathcal{P}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{d{\omega }^{\prime }}{\pi }}\mathrm{Im}{\displaystyle \frac{{\chi }_{AM}({\omega }^{\prime })}{{\omega }^{\prime }-\omega }}\end{array}$$ $$\begin{array}{}\text{(13)}& \mathrm{Im}{\chi }_{AM}(\omega )=-\mathcal{P}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{d{\omega }^{\prime }}{\pi }}\mathrm{Re}{\displaystyle \frac{{\chi }_{AM}({\omega }^{\prime })}{{\omega }^{\prime }-\omega }}\end{array}$$ が成立することを示せ。

Quiz 10(5月16日出題)
運動量と座標の組$p_i,q_i$がハミルトニアン$H$に従って 時間変化するとする。 $$\begin{array}{}\text{(14)}& \dot{q_i}={\displaystyle \frac{\partial H}{\partial p_i}}\end{array}$$ $$\begin{array}{}\text{(15)}& \dot{p_i}=-{\displaystyle \frac{\partial H}{\partial q_i}}\end{array}$$ このとき 位相空間中のある領域$\mathcal{D}(t)$の体積 $$\begin{array}{}\text{(16)}& V(\mathrm{\Gamma }(t))={\int }_{\mathcal{D}(t)}d\mathrm{\Gamma }(t)\end{array}$$ がLagrange的な時間変化に対して不変である事を示せ。

Quiz 11(5月16日出題)
運動量$p$、座標$q$に対し $$\begin{array}{}\text{(17)}& {\displaystyle \frac{dp}{dt}}=0,{\displaystyle \frac{dq}{dt}}=p\end{array}$$ という運動を考える。

• この運動方程式が可逆であることを示せ。
• ある初期状態から時間$t$だけ時間発展させ、状態を時間反転し、おなじ時間$t$だけ時間発展し、時間反転するともとの初期状態に戻ることを示せ。

また $$\begin{array}{}\text{(18)}& {\displaystyle \frac{dp}{dt}}=-p,{\displaystyle \frac{dq}{dt}}=p\end{array}$$ という運動に対し、

• この運動方程式が可逆でないことを示せ。
• ある初期状態から時間$t$だけ時間発展させ、状態を時間反転し、おなじ時間$t$だけ時間発展し、時間反転してももとの初期状態に戻らないことを示せ。

Quiz 12(5月23日出題)
与えられたハミルトニアンに対し 拡張された運動方程式 $$\begin{array}{}\text{(19)}& \dot{q_i}={\displaystyle \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}}\end{array}$$ $$\begin{array}{}\text{(20)}& \dot{p_i}=-{\displaystyle \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i}}-\zeta p_i\end{array}$$ $$\begin{array}{}\text{(21)}& \dot{\zeta }={\displaystyle \frac{1}{{\tau }^2}}(\beta \sum _i{\displaystyle \frac{p_i^2}{m}}-dN)\end{array}$$ を考える。($d$は空間次元である。)この時間発展にしたがうダイナミクスを能勢-Hooverダイナミクスと呼ぶ。能勢-Hooverダイナミクスでは運動方程式にしたがって時間発展すると、カノニカル分布が定常状態として得られることが知られている。

• ハミルトニアンの時間微分が $$\begin{array}{}\text{(22)}& {\displaystyle \frac{d\mathcal{H}}{dt}}=-\zeta \sum _i{\displaystyle \frac{p_i^2}{m}}\end{array}$$ となることを示せ。
• この時間発展で、分布関数$f(p_i,q_i,\zeta )\propto \exp (-\beta H-{\tau }^2{\zeta }^2/2)$が定常、すなわち時間微分が0であることを示せ。

Quiz 13(5月30日出題)
同時情報量 $$\begin{array}{}\text{(23)}& S(X,Y)=-\sum _{x,y}{P}_{X\otimes Y}(x,y)\log P_{X\otimes Y}(x,y)\end{array}$$ を、情報量 $$\begin{array}{}\text{(24)}& S(X)=-\sum _x{P}_X(x)\log P_X(x)\end{array}$$ と、条件付き情報量 $$\begin{array}{}\text{(25)}& S(X|Y)=-\sum _y{P}_Y(y)\sum _x{P}_X(x|y)\log P_X(x|y)\end{array}$$ をつかって $$\begin{array}{}\text{(26)}& S(X,Y)=S(Y)+S(X|Y)\end{array}$$ と表すことができることを示せ。

Quiz 14(5月30日出題)
相互情報量 $$\begin{array}{}\text{(27)}& I(X,Y)=\sum _{x,y}{P}_{X\otimes Y}(x,y)\log {\displaystyle \frac{P_{X\otimes Y}(x,y)}{P_X(x)P_Y(y)}}\end{array}$$ を、 $$\begin{array}{}\text{(28)}& I(X,Y)=S(X)+S(Y)-S(X,Y)\end{array}$$ と表すことができることを示せ。

評価

期末レポート、およびQuizの解答状況(数問選んで、最後に提出)をみて総合的に判断する。 詳細はシラバスを参照してください。

参考書、参考文献

一般的なこと

• S. R. de Groot and P. Mazur “Non-equilibrium Thermodynamics”, Dover Publications
• 一柳正和「不可逆過程の物理」日本評論社
• 川崎恭治「非平衡と相転移-メソスケールの統計力学-」朝倉書店
• 早川尚男「非平衡統計力学」サイエンス社
• 北原和夫「非平衡系の統計力学」岩波書店
• 鈴木増雄「統計力学、岩波講座現代の物理学」岩波書店
• 戸田盛和、久保亮五、斎藤信彦、橋爪夏樹「統計物理学、現代物理学の基礎第二版」岩波書店
• 関本謙「ゆらぎのエネルギー論」岩波書店
• D. N. Zubarev “Nonequilibrium Statistical Thermodynamics”, Consultants Bureau
• R. Zwanzig “Nonequilibrium Statistical Mechanics”, Oxford
• M. Ichiyanagi, “Conceptual developments of non-equilibrium statistical mechanics in the early days of Japan”, Phys. Rep. 262 (1995) 227.
• R. Kubo, M. Toda, and N. Hashitsume, “Statistical Physics II, Nonequilibirum Statistical Mechanics” Spinger-Verlag
• J. A. McLennan, “Introduction to Non-equilibrium Statistical Mechanics” Prentice-Hall
• 佐々真一「非平衡現象論」講義ノート

Einsteinのゆらぎの理論

• L. Landau, E. Lifshitz 「統計物理学 (下)」岩波書店, L. Landau, E. Lifshitz, “Statistical Physics (course of theoretical physics volume 5) Butterworth-Heinemann”
• A. Einstein, “Theorie der Opaleszenz von homogenen Flüssigkeiten und Flüssigkeitsgemischen in der Nähe des Kritischen Zustandes”, Ann. der Phys. 33 (1910), pp. 1275-1298. 邦訳 アインシュタイン選集1、監修 湯川秀樹 翻訳 井上健、谷川安孝、中村誠太郎 共立出版(1971)

確率過程

• N. G. van Kampen, “Stochastic Processes in Physics and Chemistry”, Elsevier

ブラウン運動

• A. Einstein “Investigations on the theory of the Brownian movement”, Dover

Onsagerの相反定理、Onsager-Machlup過程

• L. Onsager, “Reciprocal Relations in Irreversible Processes I”, Phys. Rev. 37 (1931) 405.
• L. Onsager, “Reciprocal Relations in Irreversible Processes II”, Phys. Rev. 38 (1931) 2265.
• 上記二つの論文の翻訳が物性研究にある。
• 橋爪夏樹、“A Statistical Theory of Linear Dissipative Systems”, Prog. Theor. Phys. 8 (1952) 461.s
• L. Onsager and S. Machlup, “Fluctuations and Irreversible Processes”, Phys. Rev. 91, 1505, (1953).
• M. Ichiyanagi “Variational principles of irreversible processes”, Phys. Rep. 243, 125,(1994)

線形応答

• 戸田盛和、久保亮五、斎藤信彦、橋爪夏樹「統計物理学、現代物理学の基礎第二版」岩波書店
• R. Kubo, M. Toda, and N. Hashitsume, “Statistical Physics II, Nonequilibirum Statistical Mechanics” Spinger-Verlag

ゆらぎの定理、Jarzynski等式

• D. J. Evans and D. J. Searles, “The Fluctuation Theorem”</a>, Adv. Phys. 51 (2002) 1529.
• G. E. Crooks, “Entropy production fluctuation theorem and the non equilibrium work relation for free energy differences”, Phys. Rev. E 60, 2721, (1999).
• C. Jarzynski, “Nonequilibrium Equality for Free Energy Differences”, Phys. Rev. Lett. 78, 2690 (1997).
• C. Jarzynski, “Nonequilibrium work theorem for a system strongly coupled to a thermal environment”, J. Stat. Mech.: Theor. Exp. P09005, (2004).

情報と熱力学

• H. Leff and A. F. Rex ed. “Maxwell’s Demon 2 Entropy, Classical and Quantum Information, Computing”, Institute of Physics Publishing

大偏差性

• 大野克嗣、“Large Deviation and Statistical Physics”, Prog. Theor. Phys. Suppl. 99 (1989) 165.
• 大野克嗣、“Onsager’s Principle from Large Deviation Point of View”, Prog. Theor. Phys. 89 (1993) 973.
• H. Touchette, “The large deviation approach to statistical mechanics”, arXiv:0804.0327