非平衡現象論
理学研究科宇宙地球科学専攻大学院科目, 大阪大学, 理学部, 2024
大学院科目、木曜日2限、理B307教室 CLE授業支援システム
スケジュール
4月11日
平衡近傍でのゆらぎ: Boltzmann-Einsteinの原理。孤立系、開放系での表現
4月18日
ゆらぎの動力学: 現象論的方程式、Onsagerの相反関係、Onsager係数の決定
4月25日
ゆらぎの動力学: Langevin方程式とFokker-Planck方程式、例:Brown運動、例:ポテンシャルのある場合、例:不均一系
5月9日
ゆらぎの動力学: 例:空間的に不均一な系への応用
Quiz
Quiz 1(4月11日出題) マクロ量 \( \{ a_i \} \)の平衡値 \( \{ \overline{a_i} \} \)からのずれは エントロピーで支配され \[ P(\{a_i\}) = (2\pi)^{-n/2} \left[ \det \left( -\dfrac{1}{k_\mathrm{B}} \dfrac{\partial^2 S}{\partial a_i \partial a_j } \right) \right]^{1/2} \exp \left( \dfrac{1}{2 k_\mathrm{B}} \sum_{ij} \dfrac{\partial^2 S}{\partial a_i \partial a_j} (a_i - \overline{a_i}) (a_j - \overline{a_j}) \right) \] と書ける。この多次元Gauss積分を実行し、規格化定数がこれで良いことを確認せよ。
Quiz 2(4月11日出題) マクロ量 \( \{ x_i \} \)の分布 \[ P(\{x_i\}) \propto \exp \left( -\dfrac{1}{2} \sum_{ij} \beta_{ij} x_i x_j \right) \] に対し、期待値 \( \left\langle x_i x_j \right\rangle = (\beta^{-1}){ij}\)となることを示せ。 また \(X_i = \sum_j \beta{ij} x_j\)と置いたとき、 \( \left\langle X_i x_j \right\rangle = \delta_{ij} \)、 \( \left\langle X_i X_j \right\rangle = \beta_{ij} \)となることを示せ。
Quiz 3(4月18日出題)
講義ではマクロ物理量 \( \{ a_i \} \)の時間発展を条件付き確率 \( W_{\Delta t} (a_i+\Delta a_i | a_i) \)で表した。この条件付き確率が詳細つりあいとよばれる条件 \[ W_{\Delta t} (a_i+\Delta a_i | a_i) P_{eq}(a_i) = W_{\Delta t} (a_i | a_i+\Delta a_i) P_{eq}(a_i+\Delta a_i) \] を満たすことを示せ。
Quiz 4(4月18日出題)
オンサーガー係数やノイズの計算で \[ I=\int_{0}^{t} ! ds_{1}\int_{0}^{t} ! ds_{2} \, f(s_{1}-s_{2}) \] の形の積分がでてきた。 \( f \) が偶関数のとき \[ I = \int_{0}^{t} ! dx\, 2 (t -x ) f(x) \] とできることを示せ。
Quiz ５(4月25日出題)
ブラウン運動のLangevin表現、 \[ \dfrac{dp_i}{dt} = - \dfrac{f}{T_R M} p_i + \xi_i(t) \] ただし\( \langle \xi_i(t) \rangle_{eq} = 0 \enspace , \quad \langle \xi_i(t) \xi_j (t’) \rangle_{eq} = 2 k_\mathrm{B} f \delta_{ij} \delta (t-t’) \)に対して、 初期条件\( p_i(0) = p_i^0 \) のもと、\( p_i(t) \)の解を求めよ。 これを使い、 \[ \langle p_i (t+\tau) p_j (t) \rangle_{p_i(0)=p_i^0, p_j(0)=p_j^0} \] を計算せよ。また、初期値 \( p_i^0, p_j^0 \)を熱平衡にとり十分に時間が経った後の、 \[ \langle p_i (t+\tau) p_j (t) \rangle_{eq} - \langle p_i (t+\tau) \rangle_{eq} \langle p_j (t) \rangle_{eq} \] を計算せよ。
Quiz 6(4月25日出題)
Quiz5の \[ \langle p_i (t+\tau) p_j (t) \rangle_{eq} - \langle p_i (t+\tau) \rangle_{eq} \langle p_j (t) \rangle_{eq} \] を、対応するFokker-Planck方程式をつかって計算せよ。
評価
期末レポート、およびQuizの解答状況(数問選んで、最後に提出)をみて総合的に判断する。 詳細はシラバスを参照してください。
参考書、参考文献
一般的なこと
- S. R. de Groot and P. Mazur “Non-equilibrium Thermodynamics”, Dover Publications
- 一柳正和「不可逆過程の物理」日本評論社
- 川崎恭治「非平衡と相転移-メソスケールの統計力学-」朝倉書店
- 早川尚男「非平衡統計力学」サイエンス社
- 北原和夫「非平衡系の統計力学」岩波書店
- 鈴木増雄「統計力学、岩波講座現代の物理学」岩波書店
- 戸田盛和、久保亮五、斎藤信彦、橋爪夏樹「統計物理学、現代物理学の基礎第二版」岩波書店
- 関本謙「ゆらぎのエネルギー論」岩波書店
- 沙川貴大「非平衡統計力学」共立出版
- 齊藤圭司「ゆらぐ系の熱力学」サイエンス社
- D. N. Zubarev “Nonequilibrium Statistical Thermodynamics”, Consultants Bureau
- R. Zwanzig “Nonequilibrium Statistical Mechanics”, Oxford
- M. Ichiyanagi, “Conceptual developments of non-equilibrium statistical mechanics in the early days of Japan”, Phys. Rep. 262 (1995) 227.
- R. Kubo, M. Toda, and N. Hashitsume, “Statistical Physics II, Nonequilibirum Statistical Mechanics” Spinger-Verlag
- J. A. McLennan, “Introduction to Non-equilibrium Statistical Mechanics” Prentice-Hall
- 佐々真一「非平衡現象論」講義ノート
Einsteinのゆらぎの理論
- L. Landau, E. Lifshitz 「統計物理学 (下)」岩波書店, L. Landau, E. Lifshitz, “Statistical Physics (course of theoretical physics volume 5) Butterworth-Heinemann”
- A. Einstein, “Theorie der Opaleszenz von homogenen Flüssigkeiten und Flüssigkeitsgemischen in der Nähe des Kritischen Zustandes”, Ann. der Phys. 33 (1910), pp. 1275-1298. 邦訳 アインシュタイン選集1、監修 湯川秀樹 翻訳 井上健、谷川安孝、中村誠太郎 共立出版(1971)
確率過程
- N. G. van Kampen, “Stochastic Processes in Physics and Chemistry”, Elsevier
ブラウン運動
- A. Einstein “Investigations on the theory of the Brownian movement”, Dover
Onsagerの相反定理、Onsager-Machlup過程
- L. Onsager, “Reciprocal Relations in Irreversible Processes I”, Phys. Rev. 37 (1931) 405.
- L. Onsager, “Reciprocal Relations in Irreversible Processes II”, Phys. Rev. 38 (1931) 2265.
- 上記二つの論文の翻訳が物性研究にある。
- 橋爪夏樹、“A Statistical Theory of Linear Dissipative Systems”, Prog. Theor. Phys. 8 (1952) 461.s
- L. Onsager and S. Machlup, “Fluctuations and Irreversible Processes”, Phys. Rev. 91, 1505, (1953).
- M. Ichiyanagi “Variational principles of irreversible processes”, Phys. Rep. 243, 125,(1994)
線形応答
- 戸田盛和、久保亮五、斎藤信彦、橋爪夏樹「統計物理学、現代物理学の基礎第二版」岩波書店
- R. Kubo, M. Toda, and N. Hashitsume, “Statistical Physics II, Nonequilibirum Statistical Mechanics” Spinger-Verlag
ゆらぎの定理、Jarzynski等式
- D. J. Evans and D. J. Searles, “The Fluctuation Theorem”</a>, Adv. Phys. 51 (2002) 1529.
- G. E. Crooks, “Entropy production fluctuation theorem and the non equilibrium work relation for free energy differences”, Phys. Rev. E 60, 2721, (1999).
- C. Jarzynski, “Nonequilibrium Equality for Free Energy Differences”, Phys. Rev. Lett. 78, 2690 (1997).
- C. Jarzynski, “Nonequilibrium work theorem for a system strongly coupled to a thermal environment”, J. Stat. Mech.: Theor. Exp. P09005, (2004).
情報と熱力学
- H. Leff and A. F. Rex ed. “Maxwell’s Demon 2 Entropy, Classical and Quantum Information, Computing”, Institute of Physics Publishing
大偏差性